История №7 за 15 февраля 2025
16
Как теорема Нётер произвела революцию в физике
Эмми Нётер показала, что фундаментальные физические законы являются следствием простых симметрий. Спустя столетие её открытия продолжают формировать физику.
Осенью 1915 года фундамент физики начал давать трещину. Новая теория гравитации Эйнштейна, казалось, подразумевала возможность создания и уничтожения энергии, что грозило перевернуть двухвековые представления о физике.
Общая теория относительности Эйнштейна радикально изменила смысл пространства и времени. Вместо того чтобы быть неподвижным фоном для событий во Вселенной, пространство и время стали самостоятельными персонажами, способными искривляться, расширяться и сжиматься в присутствии материи и энергии.
Одна из проблем этого смещающегося пространства-времени заключается в том, что по мере его растяжения и сжатия меняется плотность энергии внутри него. Как следствие, классический закон сохранения энергии, который ранее описывал всю физику, не вписывался в эти рамки. Дэвид Гильберт, один из самых выдающихся математиков того времени, быстро обнаружил эту проблему и вместе со своим коллегой Феликсом Клейном попытался разрешить этот кажущийся провал теории относительности. После того как они оказались в тупике, Гильберт передал проблему своей ассистентке, 33-летней Эмми Нётер.
Нётер была ассистенткой только по документам. Она уже была серьёзным математиком, когда в начале 1915 года Гильберт и Клейн пригласили её присоединиться к ним в Гёттингенском университете. Но другие члены факультета возражали против приёма на работу женщины, и Нётер было отказано в приёме на факультет. Тем не менее, следующие три года она провела, прощупывая линию разлома, разделяющую физику и математику, и в итоге устроила землетрясение, которое потрясло основы фундаментальной физики.
В 1918 году Нётер опубликовала результаты своих исследований в двух знаковых теоремах. Одна из них объясняла законы сохранения в небольших областях пространства — математический подвиг, который впоследствии окажется важным для понимания симметрий квантовой теории поля. Вторая, известная сейчас как теорема Нётер, гласит, что за каждым законом сохранения скрывается более глубокая симметрия.
В математическом смысле симметрия — это то, что можно сделать с системой, оставив её неизменной. Рассмотрим вращение. Если вы начнёте с равностороннего треугольника, то обнаружите, что можете повернуть его на угол, кратный 120 градусам, без изменения его внешнего вида. Если вы начнёте с круга, то сможете повернуть его на любой угол. Эти действия без последствий раскрывают скрытую симметрию этих фигур.
Но симметрия выходит за рамки формы. Представьте, что вы проводите эксперимент, затем перемещаетесь на 10 метров влево и повторяете его. Результаты эксперимента не изменятся, потому что законы физики не меняются от места к месту. Это называется трансляционной симметрией.
Теперь подождите несколько дней и повторите эксперимент снова. Результаты не изменятся, потому что законы физики не меняются с течением времени. Это называется трансляционной симметрией времени.
Нётер начала с подобных симметрий и исследовала их математические последствия. Она работала с устоявшейся физикой, используя обычное математическое описание физической системы, называемое лагранжианом.
Как и большинство еврейских учёных в Германии, Эмми Нётер уволили после прихода к власти нацистов в 1933 году. В конце того же года она уехала в колледж Брин-Мор в США и умерла после операции по удалению раковой опухоли в 1935 году. Ей было 53 года.
Как и большинство еврейских учёных в Германии, Эмми Нётер уволили после прихода к власти нацистов в 1933 году. В конце того же года она уехала в колледж Брин-Мор в США и умерла после операции по удалению раковой опухоли в 1935 году. Ей было 53 года.
Именно здесь проницательность Нётер выходит за рамки текстов и символов. На бумаге кажется, что симметрии не влияют на физику системы, поскольку симметрии не влияют на лагранжиан. Но Нётер поняла, что симметрии должны быть важны с математической точки зрения, поскольку они ограничивают поведение системы. Она рассчитала, каким должно быть это ограничение, и из математики лагранжиана вывела величину, которая не может измениться. Эта величина соответствует физическому свойству, которое всегда сохраняется. Влияние симметрии всё это время скрывалось под уравнениями, просто его не было видно.
В случае трансляционной симметрии в пространстве не должен меняться полный импульс системы. В случае трансляционной симметрии по времени сохраняется полная энергия системы. Нётер обнаружила, что законы сохранения не являются фундаментальными аксиомами Вселенной. Вместо этого они вытекают из более глубоких симметрий.
Концептуальные последствия трудно переоценить. Физики начала XX века были потрясены, осознав, что система, нарушающая трансляционную симметрию времени, может вместе с ней нарушить и закон сохранения энергии. Теперь мы знаем, что наша собственная Вселенная именно так и поступает. Космос расширяется с ускорением, растягивая свет, оставшийся от ранней Вселенной. С течением времени энергия света уменьшается.
«До теоремы Нётер принцип сохранения энергии был окутан тайной», — писал в 1983 году физик и математик Феза Гюрси. «... Простая и глубокая математическая формулировка Нётер сделала многое для демистификации физики».
Теорема Нётер повлияла и на квантовый мир. В 1970-х годах она сыграла большую роль в построении Стандартной модели физики частиц. Симметрии квантовых полей диктуют законы, которые ограничивают поведение фундаментальных частиц. Например, симметрия электромагнитного поля заставляет частицы сохранять свой заряд.
Сила теоремы Нётер вдохновила физиков обратиться к симметрии, чтобы открыть новую физику. Более века спустя открытия Нётер продолжают влиять на мышление физиков.
«Мы ещё многое сможем узнать, размышляя над теоремой Нётер», — говорит физик-математик Джон Баэз. «В ней есть много слоёв и большая глубина».
Эмми Нётер показала, что фундаментальные физические законы являются следствием простых симметрий. Спустя столетие её открытия продолжают формировать физику.
Осенью 1915 года фундамент физики начал давать трещину. Новая теория гравитации Эйнштейна, казалось, подразумевала возможность создания и уничтожения энергии, что грозило перевернуть двухвековые представления о физике.
Общая теория относительности Эйнштейна радикально изменила смысл пространства и времени. Вместо того чтобы быть неподвижным фоном для событий во Вселенной, пространство и время стали самостоятельными персонажами, способными искривляться, расширяться и сжиматься в присутствии материи и энергии.
Одна из проблем этого смещающегося пространства-времени заключается в том, что по мере его растяжения и сжатия меняется плотность энергии внутри него. Как следствие, классический закон сохранения энергии, который ранее описывал всю физику, не вписывался в эти рамки. Дэвид Гильберт, один из самых выдающихся математиков того времени, быстро обнаружил эту проблему и вместе со своим коллегой Феликсом Клейном попытался разрешить этот кажущийся провал теории относительности. После того как они оказались в тупике, Гильберт передал проблему своей ассистентке, 33-летней Эмми Нётер.
Нётер была ассистенткой только по документам. Она уже была серьёзным математиком, когда в начале 1915 года Гильберт и Клейн пригласили её присоединиться к ним в Гёттингенском университете. Но другие члены факультета возражали против приёма на работу женщины, и Нётер было отказано в приёме на факультет. Тем не менее, следующие три года она провела, прощупывая линию разлома, разделяющую физику и математику, и в итоге устроила землетрясение, которое потрясло основы фундаментальной физики.
В 1918 году Нётер опубликовала результаты своих исследований в двух знаковых теоремах. Одна из них объясняла законы сохранения в небольших областях пространства — математический подвиг, который впоследствии окажется важным для понимания симметрий квантовой теории поля. Вторая, известная сейчас как теорема Нётер, гласит, что за каждым законом сохранения скрывается более глубокая симметрия.
В математическом смысле симметрия — это то, что можно сделать с системой, оставив её неизменной. Рассмотрим вращение. Если вы начнёте с равностороннего треугольника, то обнаружите, что можете повернуть его на угол, кратный 120 градусам, без изменения его внешнего вида. Если вы начнёте с круга, то сможете повернуть его на любой угол. Эти действия без последствий раскрывают скрытую симметрию этих фигур.
Но симметрия выходит за рамки формы. Представьте, что вы проводите эксперимент, затем перемещаетесь на 10 метров влево и повторяете его. Результаты эксперимента не изменятся, потому что законы физики не меняются от места к месту. Это называется трансляционной симметрией.
Теперь подождите несколько дней и повторите эксперимент снова. Результаты не изменятся, потому что законы физики не меняются с течением времени. Это называется трансляционной симметрией времени.
Нётер начала с подобных симметрий и исследовала их математические последствия. Она работала с устоявшейся физикой, используя обычное математическое описание физической системы, называемое лагранжианом.
Как и большинство еврейских учёных в Германии, Эмми Нётер уволили после прихода к власти нацистов в 1933 году. В конце того же года она уехала в колледж Брин-Мор в США и умерла после операции по удалению раковой опухоли в 1935 году. Ей было 53 года.
Как и большинство еврейских учёных в Германии, Эмми Нётер уволили после прихода к власти нацистов в 1933 году. В конце того же года она уехала в колледж Брин-Мор в США и умерла после операции по удалению раковой опухоли в 1935 году. Ей было 53 года.
Именно здесь проницательность Нётер выходит за рамки текстов и символов. На бумаге кажется, что симметрии не влияют на физику системы, поскольку симметрии не влияют на лагранжиан. Но Нётер поняла, что симметрии должны быть важны с математической точки зрения, поскольку они ограничивают поведение системы. Она рассчитала, каким должно быть это ограничение, и из математики лагранжиана вывела величину, которая не может измениться. Эта величина соответствует физическому свойству, которое всегда сохраняется. Влияние симметрии всё это время скрывалось под уравнениями, просто его не было видно.
В случае трансляционной симметрии в пространстве не должен меняться полный импульс системы. В случае трансляционной симметрии по времени сохраняется полная энергия системы. Нётер обнаружила, что законы сохранения не являются фундаментальными аксиомами Вселенной. Вместо этого они вытекают из более глубоких симметрий.
Концептуальные последствия трудно переоценить. Физики начала XX века были потрясены, осознав, что система, нарушающая трансляционную симметрию времени, может вместе с ней нарушить и закон сохранения энергии. Теперь мы знаем, что наша собственная Вселенная именно так и поступает. Космос расширяется с ускорением, растягивая свет, оставшийся от ранней Вселенной. С течением времени энергия света уменьшается.
«До теоремы Нётер принцип сохранения энергии был окутан тайной», — писал в 1983 году физик и математик Феза Гюрси. «... Простая и глубокая математическая формулировка Нётер сделала многое для демистификации физики».
Теорема Нётер повлияла и на квантовый мир. В 1970-х годах она сыграла большую роль в построении Стандартной модели физики частиц. Симметрии квантовых полей диктуют законы, которые ограничивают поведение фундаментальных частиц. Например, симметрия электромагнитного поля заставляет частицы сохранять свой заряд.
Сила теоремы Нётер вдохновила физиков обратиться к симметрии, чтобы открыть новую физику. Более века спустя открытия Нётер продолжают влиять на мышление физиков.
«Мы ещё многое сможем узнать, размышляя над теоремой Нётер», — говорит физик-математик Джон Баэз. «В ней есть много слоёв и большая глубина».